Evoluation d'une population (correction)

Evolution d'une population à partir des tables de mortalités et d'une situation initiale.

Exercice 1 : pyramides des âges

Je reprends ici le code exposé à Damien Vergnaud's Homepage en l'adaptant un peu avec les fonctions de matplotlib via l'interface pyplot. Puis j'ajoute la différence par âge. On commence souvent par la gallerie pour voir si un graphe ou juste une partie est similaire à ce qu'on veut obtenir.

Le même en utilisant la fonction insérée dans le module actuariat_python.

Exercice 2 : calcul de l'espérance de vie

Le premier objectif est de calculer l'espérance de vie à l'âge $t$ à partir de la table de mortalité. On récupère cette table.

On note $P_t$ la population l'âge $t$. La probabilité de mourir à la date $t+d$ lorsqu'on a l'âge $t$ correspond à la probabilité de rester en vie à jusqu'à l'âge $t+d$ puis de mourir dans l'année qui suit :

$$m_{t+d} = \frac{P_{t+d}}{P_t}\frac{P_{t+d} - P_{t+d+1}}{P_{t+d}} $$

.

L'espérance de vie s'exprime :

$$\mathbb{E}(t) = \sum_{d=1}^\infty d m_{t+d} = \sum_{d=1}^\infty d \frac{P_{t+d}}{P_t}\frac{P_{t+d} - P_{t+d+1}}{P_{t+d}} = \sum_{d=1}^\infty d \frac{P_{t+d} - P_{t+d+1}}{P_{t}} $$

On crée une matrice allant de 0 à 120 ans et on pose $\mathbb{E}(120)=0$. On utilise le module numpy.

Enfin, on dessine le résultat avec matplotlib :

Le calcul implémenté ci-dessus n'est pas le plus efficace. On fait deux boucles imbriquées dont le coût global est en $O(n^2)$ mais surtout on effectue les mêmes calculs plusieurs fois. Pour le réduire à un coût linéaire $O(n)$, il faut s'intéresser à la quantité :

$$P_{t+1} \mathbb{E}(t+1) - P_t \mathbb{E}(t) = \sum_{d=1}^\infty d (P_{t+d+1} - P_{t+d+2}) - \sum_{d=1}^\infty d (P_{t+d} - P_{t+d+1})$$

L'implémentation devra utiliser la fonction numpy.cumsum et cette astuce Pandas Dataframe cumsum by row in reverse column order?.

numpy et pandas ont plusieurs fonction en commun dès qu'il s'agit de parcourir les données. Il existe aussi la fonction DataFrame.cumsum.

Exercice 3 : simulation de la pyramide l'année suivante

L'objectif est d'estimer la population française à l'année $T$. Si $P(a,T)$ désigne le nombre de personnes d'âge $a$ en $T$, on peut estimer $P(a,T+1)$ en utilisant la probabilité de mourir $m(a)$ :

$$ P(a+1, T+1) = P(a,T) * (1 - m(a))$$

On commence par calculer les coefficients $m(a)$ avec la table hf obtenue lors de l'exercice précédent tout en gardant la même dimension (on aura besoin de la fonction nan_to_num :

La population a été obtenue lors de l'exercice 1, on la convertit en un objet numpy :

Ensuite on calcule la population en 2020 :

Exercice 4 : simulation jusqu'en 2100

Il s'agit de répéter l'itération effectuée lors de l'exercice précédent. Le plus est de recopier le code dans une fonction et de l'appeler un grand nombre de fois.

Exercice 5 : simulation avec les naissances

Dans l'exercice précédent, la seconde ligne de la fonction iteration correspond à cas où il n'y a pas de naissance. On veut remplacer cette ligne par quelque chose proche de la réalité :

Il y a un peu plus de garçons qui naissent chaque année.

On convertit ces données en une matrice numpy sur 120 lignes comme les précédentes. On se sert des méthodes fillna et merge.

Si la matrice pop a plus de ligne que la matrice mat_fec, on doit compléter la seconde avec autant de lignes nulles que la précédente.

Il faut maintenant coder une fonction qui calcule le naissances pour l'année suivantes.

Et on reprend la fonction iteration et le code de l'exercice précédent :

On va plus loin et on stocke la population dans un vecteur :

Le code suivant permet de combiner les deux graphes sur la même ligne avec la fonction subplots :

Retraites

La réforme de la retraite en 2019 laissera un souvenir indélébile. Une des mesures far est celle de l'âge pivot. Le modèle développé jusqu'à présent ne permet pas de simuler ce que chaque français pourrait obtenir avec la nouvelle réforme mais il permet de donner un ordre de grandeur sur le nombre de retraités selon que l'âge pivot est de 62 ans ou plus vieux. Si on en croit cette page 1,7 actif cotisant par retraité, il y a 1,7 cotisant par retraité.

Trois populations sont considérées : les jeunes de moins de 21 ans, à la charge de leurs aînés, les actifs, les retraités dont le nombre dépend de l'âge pivot. on veut donc calculer l'évolution de ces trois populations.

D'après ces simulations, il faudrait reculer l'âge de la retraite de deux ou trois ans pour garder le même ratio entre actifs et retraités tel qu'il est aujourd'hui.