.. _2020numpyrst: ================================== Tech - calcul matriciel avec numpy ================================== .. only:: html **Links:** :download:`notebook <2020_numpy.ipynb>`, :downloadlink:`html <2020_numpy2html.html>`, :download:`python <2020_numpy.py>`, :downloadlink:`slides <2020_numpy.slides.html>`, :githublink:`GitHub|_doc/notebooks/td1a_home/2020_numpy.ipynb|*` `numpy `__ est la librairie incontournable pour faire des calculs en Python. Ces fonctionnalités sont disponibles dans tous les langages et utilisent les optimisations processeurs. Il est hautement improbable d’écrire un code aussi rapide sans l’utiliser. `numpy `__ implémente ce qu’on appelle les opérations matricielles basiques ou plus communément appelées `BLAS `__. Quelque soit le langage, l’implémentation est réalisée en langage bas niveau (C, fortran, assembleur) et a été peaufinée depuis 50 ans au gré des améliorations matérielles. .. code:: ipython3 from jyquickhelper import add_notebook_menu add_notebook_menu() .. contents:: :local: .. code:: ipython3 %matplotlib inline Enoncé ------ La librairie `numpy `__ propose principalement deux types : `array `__ et `matrix `__. Pour faire simple, prenez toujours le premier. Ca évite les erreurs. Les `array `__ sont des tableaux à plusieurs dimensions. La maîtrise du slice ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le slice est l’opérateur ``:`` (décrit sur la page `indexing `__). Il permet de récupérer une ligne, une colonne, un intervalle de valeurs. .. code:: ipython3 import numpy mat = numpy.array([[0, 5, 6, -3], [6, 7, -4, 8], [-5, 8, -4, 9]]) mat .. parsed-literal:: array([[ 0, 5, 6, -3], [ 6, 7, -4, 8], [-5, 8, -4, 9]]) .. code:: ipython3 mat[:2], mat[:, :2], mat[0, 3], mat[0:2, 0:2] .. parsed-literal:: (array([[ 0, 5, 6, -3], [ 6, 7, -4, 8]]), array([[ 0, 5], [ 6, 7], [-5, 8]]), -3, array([[0, 5], [6, 7]])) La maîtrise du nan ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ `nan `__ est une convention pour désigner une valeur manquante. Elle réagit de façon un peut particulière. Elle n’est égale à aucune autre y compris elle-même. .. code:: ipython3 numpy.nan == numpy.nan .. parsed-literal:: False .. code:: ipython3 numpy.nan == 4 .. parsed-literal:: False Il faut donc utiliser une fonction spéciale `isnan `__. .. code:: ipython3 numpy.isnan(numpy.nan) .. parsed-literal:: True La maîtrise des types ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Un tableau est défini par ses dimensions et le type unique des éléments qu’il contient. .. code:: ipython3 matint = numpy.array([0, 1, 2]) matint.shape, matint.dtype .. parsed-literal:: ((3,), dtype('int32')) C’est le même type pour toute la matrice. Il existe plusieurs type d’entiers et des réels pour des questions de performances. .. code:: ipython3 %timeit matint * matint .. parsed-literal:: 508 ns ± 44.7 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each) .. code:: ipython3 matintf = matint.astype(numpy.float64) matintf.shape, matintf.dtype .. parsed-literal:: ((3,), dtype('float64')) .. code:: ipython3 %timeit matintf * matintf .. parsed-literal:: 484 ns ± 30.4 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each) .. code:: ipython3 %timeit matintf * matint .. parsed-literal:: 894 ns ± 78.8 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each) Un changement de type et le calcul est plus long. La maîtrise du broadcasting ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le `broadcasting `__ signifie que certaines opérations ont un sens même si les dimensions des tableaux ne sont pas tout à fait égales. .. code:: ipython3 mat .. parsed-literal:: array([[ 0, 5, 6, -3], [ 6, 7, -4, 8], [-5, 8, -4, 9]]) .. code:: ipython3 mat + 1000 .. parsed-literal:: array([[1000, 1005, 1006, 997], [1006, 1007, 996, 1008], [ 995, 1008, 996, 1009]]) .. code:: ipython3 mat + numpy.array([0, 10, 100, 1000]) .. parsed-literal:: array([[ 0, 15, 106, 997], [ 6, 17, 96, 1008], [ -5, 18, 96, 1009]]) .. code:: ipython3 mat + numpy.array([[0, 10, 100]]).T .. parsed-literal:: array([[ 0, 5, 6, -3], [ 16, 17, 6, 18], [ 95, 108, 96, 109]]) La maîtrise des index ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. code:: ipython3 mat = numpy.array([[0, 5, 6, -3], [6, 7, -4, 8], [-5, 8, -4, 9]]) mat .. parsed-literal:: array([[ 0, 5, 6, -3], [ 6, 7, -4, 8], [-5, 8, -4, 9]]) .. code:: ipython3 mat == 5 .. parsed-literal:: array([[False, True, False, False], [False, False, False, False], [False, False, False, False]]) .. code:: ipython3 mat == numpy.array([[0, -4, 9]]).T .. parsed-literal:: array([[ True, False, False, False], [False, False, True, False], [False, False, False, True]]) .. code:: ipython3 (mat == numpy.array([[0, -4, 9]]).T).astype(numpy.int64) .. parsed-literal:: array([[1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]], dtype=int64) .. code:: ipython3 mat * (mat == numpy.array([[0, -4, 9]]).T).astype(numpy.int64) .. parsed-literal:: array([[ 0, 0, 0, 0], [ 0, 0, -4, 0], [ 0, 0, 0, 9]], dtype=int64) La maîtrise des fonctions ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ On peut regrouper les opérations que `numpy `__ propose en différents thèmes. Mais avant il - L’\ **initialisation** : `array `__, `empty `__, `zeros `__, `ones `__, `full `__, `identity `__, `rand `__, `randn `__, `randint `__ - Les **opérations basiques** : ``+``, ``-``, ``*``, ``/``, ``@``, `dot `__ - Les **transformations** : `transpose `__, `hstack `__, `vstack `__, `reshape `__, `squeeze `__, `expend_dims `__ - Les **opérations de réduction** : `minimum `__, `maximum `__, `argmin `__, `argmax `__, `sum `__, `mean `__, `prod `__, `var `__, `std `__ - Tout le reste comme la génération de matrices aléatoires, le calcul des valeurs, vecteurs propres, des fonctions commme `take `__, … Q1 : calculer la valeur du :math:`\chi_2` d’un tableau de contingence ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La formule est `là `__. Et il faut le faire sans boucle. Vous pouvez comparer avec la fonction `chisquare `__ de la librairie `scipy `__ qui est une extension de `numpy `__. .. math:: \chi_2 = N \sum_{i,j} p_{i.} p_{.j} \left( \frac{\frac{O_{ij}}{N} - p_{i.} p_{.j}}{p_{i.} p_{.j}}\right)^2 Q2 : calculer une distribution un peu particulière ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La fonction `histogram `__ permet de calculer la distribution empirique de variables. Pour cette question, on tire un vecteur aléatoire de taille 10 avec la fonction `rand `__, on les trie par ordre croissant, on recommence plein de fois, on calcule la distribution du plus grand nombre, du second plus grand nombre, …, du plus petit nombre. Q3 : on veut créer une matrice identité un million par un million ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Vous pouvez essayer sans réfléchir ou lire cette page d’abord : `csr_matrix `__. Q4 : vous devez créer l’application StopCovid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Il existe une machine qui reçoit la position de 3 millions de téléphones portable. On veut identifier les cas contacts (rapidement). Réponses -------- Q1 : calculer la valeur du :math:`\chi_2` d’un tableau de contingence ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La formule est `là `__. Et il faut le faire sans boucle. Vous pouvez comparer avec la fonction `chisquare `__ de la librairie `scipy `__ qui est une extension de `numpy `__. .. math:: \chi_2 = N \sum_{i,j} p_{i.} p_{.j} \left( \frac{\frac{O_{ij}}{N} - p_{i.} p_{.j}}{p_{i.} p_{.j}}\right)^2 .. code:: ipython3 import numpy O = numpy.array([[15., 20., 13.], [4., 9., 5.]]) O .. parsed-literal:: array([[15., 20., 13.], [ 4., 9., 5.]]) .. code:: ipython3 def chi_square(O): N = numpy.sum(O) pis = numpy.sum(O, axis=1, keepdims=True) / N pjs = numpy.sum(O, axis=0, keepdims=True) / N pispjs = pis @ pjs chi = pispjs * ((O / N - pispjs) / pispjs) ** 2 return numpy.sum(chi) * N chi_square(O) .. parsed-literal:: 0.5798254016266716 Q2 : calculer une distribution un peu particulière ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La fonction `histogram `__ permet de calculer la distribution empirique de variables. Pour cette question, on tire un vecteur aléatoire de taille 10 avec la fonction `rand `__, on les trie par ordre croissant, on recommence plein de fois, on calcule la distribution du plus grand nombre, du second plus grand nombre, …, du plus petit nombre. .. code:: ipython3 rnd = numpy.random.rand(10) rnd .. parsed-literal:: array([0.98556467, 0.47377301, 0.77148185, 0.26135908, 0.27373018, 0.0240458 , 0.55360714, 0.3575369 , 0.71740732, 0.3260206 ]) .. code:: ipython3 numpy.sort(rnd) .. parsed-literal:: array([0.0240458 , 0.26135908, 0.27373018, 0.3260206 , 0.3575369 , 0.47377301, 0.55360714, 0.71740732, 0.77148185, 0.98556467]) .. code:: ipython3 def tirage(n): rnd = numpy.random.rand(n) trie = numpy.sort(rnd) return trie[-1] tirage(10) .. parsed-literal:: 0.876020129318981 .. code:: ipython3 def plusieurs_tirages(N, n): rnd = numpy.random.rand(N, n) return numpy.max(rnd, axis=1) plusieurs_tirages(5, 10) .. parsed-literal:: array([0.99594032, 0.67914189, 0.98105965, 0.93181536, 0.86827764]) .. code:: ipython3 t = plusieurs_tirages(5000, 10) hist = numpy.histogram(t) hist .. parsed-literal:: (array([ 5, 8, 20, 35, 111, 221, 407, 785, 1273, 2135], dtype=int64), array([0.437878 , 0.49408914, 0.55030028, 0.60651142, 0.66272256, 0.7189337 , 0.77514485, 0.83135599, 0.88756713, 0.94377827, 0.99998941])) .. code:: ipython3 import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(hist[1][1:], hist[0] / hist[0].sum()); .. image:: 2020_numpy_50_0.png Q3 : on veut créer une matrice identité un million par un million ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Vous pouvez essayer sans réfléchir ou lire cette page d’abord : `csr_matrix `__. :math:`(10^6)^2=10^{12}`>10 Go, bref ça ne tient pas en mémoire sauf si on a une grosse machine. Les matrices creuses (ou sparses en anglais), sont adéquates pour représenter des matrices dont la grande majorité des coefficients sont nuls car ceux-ci ne sont pas stockés. Concrètement, la matrice enregistre uniquement les coordonnées des coefficients et les valeurs non nuls. .. code:: ipython3 import numpy from scipy.sparse import csr_matrix ide = csr_matrix((1000000, 1000000), dtype=numpy.float64) ide.setdiag(1.) .. parsed-literal:: c:\python395_x64\lib\site-packages\scipy\sparse\_index.py:125: SparseEfficiencyWarning: Changing the sparsity structure of a csr_matrix is expensive. lil_matrix is more efficient. self._set_arrayXarray(i, j, x) Q4 : vous devez créer l’application StopCovid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Il existe une machine qui reçoit la position de 3 millions de téléphones portable. On veut identifier les cas contacts (rapidement). Si on devait calculer toutes les paires de distance, cela prendrait un temps fou. Il faut ruser. Le plus simple est de construire une grille sur le territoire français puis d’associer à chaque téléphone portable la grille dans laquelle il se trouve. Dans une cellule de la grille, le nombre de paires est beaucoup plus réduit. Ce n’est pas la seule astuce qu’il faudra utiliser. Mais c’est un bon début.