Corrélations non linéaires

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Les corrélations indiquent si deux variables sont linéairement équivalentes. Comment étendre cette notion à des variables liées mais pas de façon linéaire.

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%matplotlib inline

Un exemple

from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
Y = iris.target
import pandas
df = pandas.DataFrame(X)
df.columns = ["X1", "X2", "X3", "X4"]
df.head()
X1 X2 X3 X4
0 5.1 3.5 1.4 0.2
1 4.9 3.0 1.4 0.2
2 4.7 3.2 1.3 0.2
3 4.6 3.1 1.5 0.2
4 5.0 3.6 1.4 0.2
import seaborn as sns
sns.set()
sns.pairplot(df);
../_images/correlation_non_lineaire_5_0.png

Et les corrélations :

df.corr()
X1 X2 X3 X4
X1 1.000000 -0.117570 0.871754 0.817941
X2 -0.117570 1.000000 -0.428440 -0.366126
X3 0.871754 -0.428440 1.000000 0.962865
X4 0.817941 -0.366126 0.962865 1.000000

Un peu de théorie

Le coefficient de corrélation de Pearson est calculé comme suit :

cor(X_i, X_j) = \frac{cov(X_i, Y_i)}{\sigma(X_i)\sigma(X_j)}

Lorsque les variables sont centrées \mathbb{E}X_i=\mathbb{E}X_j=0, cette formule devient :

cor(X_i, X_j) = \frac{\mathbb{E}(X_i X_j)}{\sqrt{\mathbb{E}X_i^2 \mathbb{E}X_j^2}}

Lorsque les variables sont réduites \mathbb{E}X_i^2=\mathbb{E}X_j^2=1, cette formule devient cor(X_i, X_j) = \mathbb{E}(X_i X_j). Admettons maintenant que l’on cherche à trouver le coefficient \alpha_{ij} qui minimise la variance du bruit \epsilon_{ij} :

X_j = \alpha_{ij}X_i + \epsilon_{ij}

Le coefficient \alpha_{ij} est le résultat d’une régression linéaire qui minimise \mathbb{E}(X_j - \alpha_{ij}X_i)^2. Si les variables X_i, X_j sont centrées et réduites : \alpha_{ij}^* = \mathbb{E}(X_i X_j) = cor(X_i, X_j). On étend cette définition dans le cas d’une fonction paramétrable f : f(\omega, X) \rightarrow \mathbb{R} et d’une régression non linéaire. On suppose que les paramètres \omega^* minimisent la quantité \min_\omega (X_j - f(\omega, X_i))^2. On écrit alors X_j = \alpha_{ij} \frac{f(\omega^*, X_i)}{\alpha_{ij}} + \epsilon_{ij} et on choisit \alpha_{ij} de telle sorte que \mathbb{E}\left(\frac{f(\omega^*, X_i)^2}{\alpha_{ij}^2}\right) = 1. On définit la corrélation non linéaire au sens de f :

cor^f(X_i, X_j) = \sqrt{ \mathbb{E} (f(\omega, X_i)^2 )}

On vérifie que ce coefficient est compris entre [0, 1]. Il est positif de manière évidente. Il est également inférieur à 1, si cela n’était pas le cas, nous pourrions construire une fonction f(\omega^*, X)+c qui est une meilleur solution pour le programme de minimisation. Ce nombre ressemble à une corrélation à ceci près qu’elle ne peut être négative.

Vérifications

Tout d’abord le cas linéaire :

from sklearn.preprocessing import scale
import numpy

def correlation_etendue(df, model, **params):
    cor = df.corr()
    df = scale(df)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i:i+1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            mod = model(**params)
            xj = df[:, j]
            mod.fit(xi, xj)
            v = mod.predict(xi)
            c = numpy.std(v)
            cor.iloc[i,j] = c
    return cor

from sklearn.linear_model import LinearRegression
cor = correlation_etendue(df, LinearRegression, fit_intercept=False)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 1.000000 0.117570 0.871754 0.817941
X2 0.117570 1.000000 0.428440 0.366126
X3 0.871754 0.428440 1.000000 0.962865
X4 0.817941 0.366126 0.962865 1.000000

On affiche à nouveau les corrélations qui sont identiques au signe près.

df.corr()
X1 X2 X3 X4
X1 1.000000 -0.117570 0.871754 0.817941
X2 -0.117570 1.000000 -0.428440 -0.366126
X3 0.871754 -0.428440 1.000000 0.962865
X4 0.817941 -0.366126 0.962865 1.000000

Et le cas non linéaire :

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
cor = correlation_etendue(df, DecisionTreeRegressor)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 1.000000 0.544441 0.915847 0.879583
X2 0.418274 1.000000 0.591839 0.539524
X3 0.937056 0.789727 1.000000 0.978332
X4 0.846161 0.761652 0.980005 1.000000
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
cor = correlation_etendue(df, RandomForestRegressor, n_estimators=10)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 0.998097 0.517613 0.928051 0.866090
X2 0.436219 0.990019 0.599829 0.548466
X3 0.918226 0.791550 0.997241 0.979319
X4 0.825609 0.739201 0.983466 0.999659

Overfitting

Ces chiffres sont beaucoup trop optimistes. Les modèles de machine learning peuvent tout à fait faire de l’overfitting. Il faut améliorer la fonction en divisant en apprentissage et test plusieurs fois. Il faut également tenir compte de l’erreur de prédiction. On rappelle que :

X_j = \alpha_{ij} \frac{f(\omega^*, X_i)}{\alpha_{ij}} + \epsilon_{ij} = cor^f(X_i, X_j) \frac{f(\omega^*, X_i)}{\sqrt{ \mathbb{E} (f(\omega, X_i)^2 )}} + \epsilon_{ij}

Or \mathbb{E}(X_j^2)=1 et on suppose que les bruits ne sont pas corrélées linéairement aux f(\omega^*, X_i). On en déduit que cor^f(X_i, X_j) = \sqrt{ 1 - \mathbb{E}\epsilon_{ij}^2}.

from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy

def correlation_cross_val(df, model, draws=5, **params):
    cor = df.corr()
    df = scale(df)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i:i+1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            xj = df[:, j]
            mem = []
            for k in range(0, draws):
                xi_train, xi_test, xj_train, xj_test = train_test_split(xi, xj, test_size=0.5)
                mod = model(**params)
                mod.fit(xi_train, xj_train)
                v = mod.predict(xi_test)
                c = (1 - numpy.var(v - xj_test))
                mem.append(max(c, 0) **0.5)
            cor.iloc[i,j] = sum(mem) / len(mem)
    return cor

cor = correlation_cross_val(df, LinearRegression, fit_intercept=False, draws=20)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 1.000000 0.149244 0.873346 0.820386
X2 0.100914 1.000000 0.372624 0.357596
X3 0.871491 0.425678 1.000000 0.962125
X4 0.824480 0.383522 0.961660 1.000000
cor = correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 0.998315 0.097890 0.867001 0.779327
X2 0.000000 0.995122 0.356606 0.064479
X3 0.869769 0.420763 0.998650 0.949499
X4 0.765692 0.514983 0.966899 0.999886
cor = correlation_cross_val(df, RandomForestRegressor, n_estimators=10)
cor
X1 X2 X3 X4
X1 0.998688 0.119485 0.875177 0.809729
X2 0.023334 0.995135 0.330258 0.082126
X3 0.876701 0.524384 0.998817 0.960836
X4 0.761897 0.671474 0.970492 0.999014

Les résultats sont assez fluctuants lorsque les données sont mal corrélées. On remarque également que la matrice n’est plus nécessairement symmétrique.

import matplotlib.pyplot as plt

def pairplot_cross_val(data, model=None, ax=None, **params):
    if ax is None:
        fig, ax = plt.subplots(data.shape[1], data.shape[1], figsize=params.get('figsize', (10,10)))
    if 'figsize' in params:
        del params["figsize"]
    if model is None:
        from sklearn.linear_model import LinearRegression
        model = LinearRegression

    df = scale(data)
    cor = numpy.corrcoef(df.T)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i:i+1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            xj = df[:, j]
            mem = []
            xi_train, xi_test, xj_train, xj_test = train_test_split(xi, xj, test_size=0.5)
            mod = model(**params)
            mod.fit(xi_train, xj_train)
            v = mod.predict(xi_test)
            mod = model(**params)
            mod.fit(xi_test, xj_test)
            v2 = mod.predict(xi_train)
            ax[i,j].plot(xj_test, v, ".")
            ax[i,j].plot(xj_train, v2, ".")
            if j == 0:
                ax[i,j].set_ylabel(data.columns[i])
            if i == data.shape[1]-1:
                ax[i,j].set_xlabel(data.columns[j])
            mi = min(min(xj_test), min(v), min(xj_train), min(v2))
            ma = max(max(xj_test), max(v), max(xj_train), max(v2))
            ax[i,j].plot([mi, ma], [mi, ma], "--")
    return ax

ax = pairplot_cross_val(df)
ax;
../_images/correlation_non_lineaire_22_0.png
ax = pairplot_cross_val(df, model=DecisionTreeRegressor)
ax;
../_images/correlation_non_lineaire_23_0.png
ax = pairplot_cross_val(df, model=RandomForestRegressor, n_estimators=10)
ax;
../_images/correlation_non_lineaire_24_0.png
from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
ax = pairplot_cross_val(df, model=KNeighborsRegressor)
ax;
../_images/correlation_non_lineaire_25_0.png

Corrélations de variables catégorielles

C’est le problème épineux si on se restreint au linéaire. Cela n’a pas trop de sens d’affecter une valeur à chaque catégorie et la corrélation de deux variables binaires (des modalités) est toujours étrange car il n’y a que deux valeurs possibles.

cov(X,Y) = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)(Y - \mathbb{E}Y)\right] = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}X\mathbb{E}Y = \mathbb{P}(X=1 \, et \, Y=1) - \mathbb{E}X\mathbb{E}Y

Dans le cas de variables binaires générées de modalités de la même variables catégorielles, le premier terme est toujours nul puisque les modalités sont exclusives et la corrélation est toujours négative.

import random
ex = numpy.zeros((100, 2))
for i in range(0, ex.shape[0]):
    h = random.randint(0, ex.shape[1]-1)
    ex[i, h] = 1
ex[:5]
array([[0., 1.],
       [1., 0.],
       [1., 0.],
       [1., 0.],
       [1., 0.]])
numpy.corrcoef(ex.T)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])
import random
ex = numpy.zeros((100, 3))
for i in range(0, ex.shape[0]):
    h = random.randint(0, ex.shape[1]-1)
    ex[i, h] = 1
ex[:5]
numpy.corrcoef(ex.T)
array([[ 1.        , -0.55708601, -0.40824829],
       [-0.55708601,  1.        , -0.53066863],
       [-0.40824829, -0.53066863,  1.        ]])

Supposons maintenant que nous avons deux variables catégorielles très proches :

  • X_1 est une couleur rouge, bleu, gris.
  • X_2 est une nuance rose, orange, cyan, magenta, blanc noir.
c1 = ["rouge", "bleu", "gris"]
c2 = ["rose" ,"orange" ,"cyan" ,"magenta", "blanc", "noir"]
ind = [random.randint(0, 2) for i in range(0, 100)]
x1 = [c1[i] for i in ind]
x2 = [c2[i*2 + random.randint(0,1)] for i in ind]
df = pandas.DataFrame(dict(X1=x1, X2=x2))
df.head()
X1 X2
0 rouge rose
1 bleu magenta
2 bleu magenta
3 bleu cyan
4 bleu magenta

On peut évidemment transformer en entier.

dummies = pandas.get_dummies(df)
dummies.head()
X1_bleu X1_gris X1_rouge X2_blanc X2_cyan X2_magenta X2_noir X2_orange X2_rose
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0
2 1 0 0 0 0 1 0 0 0
3 1 0 0 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0 0 0 1 0 0 0
dummies.corr()
X1_bleu X1_gris X1_rouge X2_blanc X2_cyan X2_magenta X2_noir X2_orange X2_rose
X1_bleu 1.000000 -0.480384 -0.538462 -0.283654 0.594762 0.660020 -0.332095 -0.343801 -0.332095
X1_gris -0.480384 1.000000 -0.480384 0.590474 -0.285714 -0.317063 0.691312 -0.306719 -0.296276
X1_rouge -0.538462 -0.480384 1.000000 -0.283654 -0.320256 -0.355395 -0.332095 0.638487 0.616748
X2_blanc -0.283654 0.590474 -0.283654 1.000000 -0.168707 -0.187217 -0.174943 -0.181110 -0.174943
X2_cyan 0.594762 -0.285714 -0.320256 -0.168707 1.000000 -0.211375 -0.197518 -0.204479 -0.197518
X2_magenta 0.660020 -0.317063 -0.355395 -0.187217 -0.211375 1.000000 -0.219189 -0.226915 -0.219189
X2_noir -0.332095 0.691312 -0.332095 -0.174943 -0.197518 -0.219189 1.000000 -0.212039 -0.204819
X2_orange -0.343801 -0.306719 0.638487 -0.181110 -0.204479 -0.226915 -0.212039 1.000000 -0.212039
X2_rose -0.332095 -0.296276 0.616748 -0.174943 -0.197518 -0.219189 -0.204819 -0.212039 1.000000

Ca ne dit pas grand-chose.

from sklearn.preprocessing import LabelEncoder
enc = LabelEncoder()
df["X1e"] = enc.fit_transform(df["X1"])
df["X2e"] = enc.fit_transform(df["X2"])
df.head()
X1 X2 X1e X2e
0 rouge rose 2 5
1 bleu magenta 0 2
2 bleu magenta 0 2
3 bleu cyan 0 1
4 bleu magenta 0 2
df.corr()
X1e X2e
X1e 1.00000 0.74706
X2e 0.74706 1.00000

Ca ne veut toujours pas dire grand-chose. Et si on change la première colonne en permutant les lables :

df["X1e"] = df["X1e"].apply(lambda i: (i+1)%3)
df.head()
X1 X2 X1e X2e
0 rouge rose 0 5
1 bleu magenta 1 2
2 bleu magenta 1 2
3 bleu cyan 1 1
4 bleu magenta 1 2
df.corr()
X1e X2e
X1e 1.000000 -0.700588
X2e -0.700588 1.000000

La corrélation linéaire sur des variables catégorielles n’a pas de sens. Essayons avec un arbre de décision. C’est le modèle adéquat pour ce type de valeur discrètes :

cor = correlation_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], DecisionTreeRegressor)
cor
c:python370_x64libsite-packagesipykernel_launcher.py:6: DataConversionWarning: Data with input dtype int32, int64 were all converted to float64 by the scale function.
X1e X2e
X1e 1.0 0.822127
X2e 1.0 1.000000

Et si on permute le premier label :

df["X1e"] = df["X1e"].apply(lambda i: (i+1)%3)
correlation_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], DecisionTreeRegressor)
c:python370_x64libsite-packagesipykernel_launcher.py:6: DataConversionWarning: Data with input dtype int32, int64 were all converted to float64 by the scale function.
X1e X2e
X1e 1.0 0.807566
X2e 1.0 1.000000

Même résultat qui s’interprète de la sorte :

  • La variable X1e se déduit de X2e (car cor(X2e, X1e) = 1).
  • La variable X2e et fortement lié à X2e.

La valeur numérique choisie pour représente la variable catégorielle n’a pas d’impact sur les résultats.

ax = pairplot_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], model=DecisionTreeRegressor)
ax;
c:python370_x64libsite-packagesipykernel_launcher.py:12: DataConversionWarning: Data with input dtype int32, int64 were all converted to float64 by the scale function.
  if sys.path[0] == '':
../_images/correlation_non_lineaire_46_1.png

Et sur un jeu de données plus complet.

from sklearn.datasets import load_boston
df = load_boston()
df = pandas.DataFrame(df.data, columns=df.feature_names)
df.head()
CRIM ZN INDUS CHAS NOX RM AGE DIS RAD TAX PTRATIO B LSTAT
0 0.00632 18.0 2.31 0.0 0.538 6.575 65.2 4.0900 1.0 296.0 15.3 396.90 4.98
1 0.02731 0.0 7.07 0.0 0.469 6.421 78.9 4.9671 2.0 242.0 17.8 396.90 9.14
2 0.02729 0.0 7.07 0.0 0.469 7.185 61.1 4.9671 2.0 242.0 17.8 392.83 4.03
3 0.03237 0.0 2.18 0.0 0.458 6.998 45.8 6.0622 3.0 222.0 18.7 394.63 2.94
4 0.06905 0.0 2.18 0.0 0.458 7.147 54.2 6.0622 3.0 222.0 18.7 396.90 5.33
df.corr()
CRIM ZN INDUS CHAS NOX RM AGE DIS RAD TAX PTRATIO B LSTAT
CRIM 1.000000 -0.200469 0.406583 -0.055892 0.420972 -0.219247 0.352734 -0.379670 0.625505 0.582764 0.289946 -0.385064 0.455621
ZN -0.200469 1.000000 -0.533828 -0.042697 -0.516604 0.311991 -0.569537 0.664408 -0.311948 -0.314563 -0.391679 0.175520 -0.412995
INDUS 0.406583 -0.533828 1.000000 0.062938 0.763651 -0.391676 0.644779 -0.708027 0.595129 0.720760 0.383248 -0.356977 0.603800
CHAS -0.055892 -0.042697 0.062938 1.000000 0.091203 0.091251 0.086518 -0.099176 -0.007368 -0.035587 -0.121515 0.048788 -0.053929
NOX 0.420972 -0.516604 0.763651 0.091203 1.000000 -0.302188 0.731470 -0.769230 0.611441 0.668023 0.188933 -0.380051 0.590879
RM -0.219247 0.311991 -0.391676 0.091251 -0.302188 1.000000 -0.240265 0.205246 -0.209847 -0.292048 -0.355501 0.128069 -0.613808
AGE 0.352734 -0.569537 0.644779 0.086518 0.731470 -0.240265 1.000000 -0.747881 0.456022 0.506456 0.261515 -0.273534 0.602339
DIS -0.379670 0.664408 -0.708027 -0.099176 -0.769230 0.205246 -0.747881 1.000000 -0.494588 -0.534432 -0.232471 0.291512 -0.496996
RAD 0.625505 -0.311948 0.595129 -0.007368 0.611441 -0.209847 0.456022 -0.494588 1.000000 0.910228 0.464741 -0.444413 0.488676
TAX 0.582764 -0.314563 0.720760 -0.035587 0.668023 -0.292048 0.506456 -0.534432 0.910228 1.000000 0.460853 -0.441808 0.543993
PTRATIO 0.289946 -0.391679 0.383248 -0.121515 0.188933 -0.355501 0.261515 -0.232471 0.464741 0.460853 1.000000 -0.177383 0.374044
B -0.385064 0.175520 -0.356977 0.048788 -0.380051 0.128069 -0.273534 0.291512 -0.444413 -0.441808 -0.177383 1.000000 -0.366087
LSTAT 0.455621 -0.412995 0.603800 -0.053929 0.590879 -0.613808 0.602339 -0.496996 0.488676 0.543993 0.374044 -0.366087 1.000000

On dessine les 5 premières variables. On voit que la variable CHAS est binaire.

sns.pairplot(df[df.columns[:6]]);
../_images/correlation_non_lineaire_51_0.png
correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)
CRIM ZN INDUS CHAS NOX RM AGE DIS RAD TAX PTRATIO B LSTAT
CRIM 0.978987 0.119219 0.368409 0.000000 0.575361 0.000000 0.132604 0.181786 0.934263 0.791631 0.000000 0.000000 0.000000
ZN 0.241239 0.999832 0.601017 0.174623 0.566598 0.187968 0.575379 0.751464 0.369665 0.388512 0.528891 0.248116 0.447769
INDUS 0.603741 0.895385 0.999984 0.189358 0.898007 0.453506 0.749620 0.888608 0.996818 0.988377 0.929704 0.390221 0.665031
CHAS 0.105602 0.168873 0.091647 1.000000 0.090403 0.042494 0.083861 0.076851 0.040579 0.040766 0.158653 0.125477 0.310272
NOX 0.616274 0.896478 0.965594 0.184243 0.999976 0.363852 0.801808 0.922033 0.967768 0.972293 0.920679 0.628276 0.665110
RM 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.999185 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.057636
AGE 0.000000 0.112678 0.282417 0.000000 0.483665 0.000000 0.999943 0.507002 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
DIS 0.000000 0.547127 0.475743 0.000000 0.677492 0.000000 0.675820 0.999586 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.045766
RAD 0.643623 0.447746 0.671460 0.092260 0.678097 0.281123 0.490036 0.543128 1.000000 0.924886 0.618822 0.358109 0.497215
TAX 0.598508 0.708049 0.926794 0.194089 0.851416 0.315329 0.713247 0.822565 0.992788 0.999931 0.871735 0.466075 0.582098
PTRATIO 0.381503 0.560923 0.835449 0.000000 0.789791 0.432755 0.590805 0.748106 0.961027 0.905085 0.999682 0.379115 0.477494
B 0.046401 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.999526 0.000000
LSTAT 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.118426 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.999819
pairplot_cross_val(df[df.columns[:6]], model=DecisionTreeRegressor, figsize=(16,16));
../_images/correlation_non_lineaire_53_0.png

On regarde en pariculier les variables TAX, RAD, PTRATIO.

sns.pairplot(df[["RAD", "TAX", "PTRATIO"]]);
../_images/correlation_non_lineaire_55_0.png
df[["RAD", "TAX", "PTRATIO"]].corr()
RAD TAX PTRATIO
RAD 1.000000 0.910228 0.464741
TAX 0.910228 1.000000 0.460853
PTRATIO 0.464741 0.460853 1.000000
pairplot_cross_val(df[["RAD", "TAX", "PTRATIO"]], model=DecisionTreeRegressor);
../_images/correlation_non_lineaire_57_0.png
correlation_cross_val(df[["RAD", "TAX", "PTRATIO"]], DecisionTreeRegressor)
RAD TAX PTRATIO
RAD 1.000000 0.921355 0.610248
TAX 0.990880 0.999942 0.886053
PTRATIO 0.939702 0.915163 0.999547

Les variables sont toutes trois liées de façon non linéaire.

Maximal information coefficient

Cette approche est plutôt pragmatique mais peut se révéler coûteuse en terme de calculs. Elle permet aussi de comprendre qu’un coefficient de corrélation dépend des hypothèses qu’on choisi pour les données. On peut toujours construire un coefficient de corrélation qui soit égal à 1 mais il correspond à toujours à un phénomène qu’on souhaite étudier. La corrélation linéaire recherche des relations linéaires. On peut chercher une relation polynomiale. Les arbres de décision recherche une corrélation construite à partir de fonction en escalier. Plus la relation a de degré de liberté, plus le coefficient a de chance de tendre vers 1, moins il a de chance d’être aussi élevé sur de nouvelles données.

Cela permet néanmoins de mieux comprendre les avantages et les inconvénients de métriques du type MIC ou Maximal information coefficient. Plus de détails sont disponibles dans cet article : Equitability, mutual information, and the maximal information coefficient. Le module minepy implémente cette métrique ainsi que d’autres qui poursuivent le même objectif. L’information mutuelle est définie comme ceci pour deux variables discrètes :

MI(X,Y) = \sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ln_2\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}

La fonction p(x,y) définit la distribution conjointe des deux variables, p(x), p(y) les deux probabilités marginales. Il existe une extension pour les variables continues :

MIC(X,Y) = \int_{x\in\mathcal{X}}\in_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ln_2\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}dxdy

Une façon de calculer une approximation du coefficient MIC(x,y) est de discrétiser les deux variables X et Y ce qu’on fait en appliquant un algorithme similaire à celui utilisé pour construire un arbre de décision à ceci près que qu’il n’y a qu’une seule variable et que la variable à prédire est elle-même.

L’information mutuelle est inspiré de la distance de Kullback-Leiber qui est une distance entre deux probabilités qui sont ici la disribution du couple (X,Y) et la distribution que ce couple aurait si les deux variables étaient indépendantes, c’est à dire le produit de leur distribution.

Je reproduis ici le code de l’exemple proposé par la librairie minepy et j’y ajoute la corrélation proposée dans ce notebook DT pour Decision Tree.

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from minepy import MINE


rs = np.random.RandomState(seed=0)

def mysubplot(x, y, numRows, numCols, plotNum,
              xlim=(-4, 4), ylim=(-4, 4)):

    r = np.around(np.corrcoef(x, y)[0, 1], 1)
    mine = MINE(alpha=0.6, c=15, est="mic_approx")
    mine.compute_score(x, y)
    mic = np.around(mine.mic(), 1)

    # début ajout
    df = pandas.DataFrame(dict(x=x, y=y))
    cor = correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)
    dt = max(cor.iloc[1,0], cor.iloc[0,1])

    ax = plt.subplot(numRows, numCols, plotNum,
                     xlim=xlim, ylim=ylim)
    ax.set_title('Pearson r=%.1f\nMIC=%.1f\nDT=%.1f' % (r, mic, dt),fontsize=10)
    ax.set_frame_on(False)
    ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
    ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
    ax.plot(x, y, ',')
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
    return ax

def rotation(xy, t):
    return np.dot(xy, [[np.cos(t), -np.sin(t)], [np.sin(t), np.cos(t)]])

def mvnormal(n=1000):
    cors = [1.0, 0.8, 0.4, 0.0, -0.4, -0.8, -1.0]
    for i, cor in enumerate(cors):
        cov = [[1, cor],[cor, 1]]
        xy = rs.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
        mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, i+1)

def rotnormal(n=1000):
    ts = [0, np.pi/12, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/2-np.pi/6,
          np.pi/2-np.pi/12, np.pi/2]
    cov = [[1, 1],[1, 1]]
    xy = rs.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
    for i, t in enumerate(ts):
        xy_r = rotation(xy, t)
        mysubplot(xy_r[:, 0], xy_r[:, 1], 3, 7, i+8)

def others(n=1000):
    x = rs.uniform(-1, 1, n)
    y = 4*(x**2-0.5)**2 + rs.uniform(-1, 1, n)/3
    mysubplot(x, y, 3, 7, 15, (-1, 1), (-1/3, 1+1/3))

    y = rs.uniform(-1, 1, n)
    xy = np.concatenate((x.reshape(-1, 1), y.reshape(-1, 1)), axis=1)
    xy = rotation(xy, -np.pi/8)
    lim = np.sqrt(2+np.sqrt(2)) / np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 16, (-lim, lim), (-lim, lim))

    xy = rotation(xy, -np.pi/8)
    lim = np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 17, (-lim, lim), (-lim, lim))

    y = 2*x**2 + rs.uniform(-1, 1, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 18, (-1, 1), (-1, 3))

    y = (x**2 + rs.uniform(0, 0.5, n)) * \
        np.array([-1, 1])[rs.randint(0, 1, size=n)]
    mysubplot(x, y, 3, 7, 19, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    y = np.cos(x * np.pi) + rs.uniform(0, 1/8, n)
    x = np.sin(x * np.pi) + rs.uniform(0, 1/8, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 20, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    xy1 = np.random.multivariate_normal([3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy2 = np.random.multivariate_normal([-3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy3 = np.random.multivariate_normal([-3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy4 = np.random.multivariate_normal([3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy = np.concatenate((xy1, xy2, xy3, xy4), axis=0)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 21, (-7, 7), (-7, 7))

plt.figure(figsize=(14,7))
mvnormal(n=800)
rotnormal(n=200)
others(n=800)
# plt.tight_layout()
# plt.show()
../_images/correlation_non_lineaire_62_0.png