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enseignement, mathématiques


2021-08-09 Petit exercice de probabilité

Petite question de probabilité survenue un jour lors d'un tournoi de tennis, au moment des quarts de finale. Les huit joueurs arrivent pour jouer leur match. Quelle est la probabilité qu'aucun des quatre premiers joueurs arrivés ne puissent jouer ensemble ? Autrement dit, chacun des quatre premiers joueurs arrivés est dans un quart différent.

Traduit en chaussettes... Dans un tiroir, il y a quatre paires de chaussettes de couleurs différentes. Quelle est la probabilité de tirer quatre chaussettes de couleurs différentes parmi huit ?

Tout d'abord une petite simulation numérique.

import random
import numpy

truth = (6. / 7.) * (4. / 6) * (2. / 5)

pas_paire = 0
for tirage in range(0, 200001):
    zero = numpy.zeros(8)
    for i in range(0, 4):
        h = random.randint(0, 7)
        while zero[h] == 1:
            h = random.randint(0, 7)
        zero[h] = 1
    pairs = zero.reshape((-1, 2)).sum(axis=1)
    if pairs.max() == 1:
        pas_paire += 1
    if tirage % 100000 == 9999:
        print("tirage=%d p=%f  truth=%f" % (
            tirage + 1, pas_paire * 1. / (tirage + 1), truth))

Qui montre que cette probabilité est de 23%.

tirage=10000 p=0.233700  truth=0.228571
tirage=110000 p=0.229718  truth=0.228571

Mais ce n'est pas une preuve... Pour trouver le résultat, le raisonnement est le suivant. Au premier joueur qui arrive, il n'y a pas de paire complète. La probabilité est donc de 1. Au second joueur qui arrive, il ne doit pas être la seconde chaussettes de la même paire, il y a donc 6 chances sur 7 pour que ce soit le cas. Au troisième joueur qui arrive, il y a 4 chances sur 6 pour qu'il n'y ait toujours pas de paire. Au quatrième, il y a 2 chances (les deux chaussettes de la seule paire libre) sur 5 (les chaussettes encore disponibles).

Le résultat est le produit des probabilités : 6/7 x 4/6 x 2/5 = (4x2) / (7x5) = 8 / 35 ~ 0.228571.


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Xavier Dupré