Graphes

Les graphes représente une partie importante de l’informatique. C’est souvent très visuel et assez intuitif à petite échelle.

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Termes

  • noeud (ou vertex en anglais) : élément du graphe
  • arc (ou edge en anglais) : lien reliant deux noe uds
  • graphe orienté : les arcs sont orientés, aller du noeud i à j ou de j à i n’a pas le même sens

Représentation

On parle de matrice d’adjacence. La matrice A=(a_{ij}) définit les arcs entre les noeuds. a_{ij} définit le poids de l’arc. Si ce coefficient est nul, il n’y a pas d’arc.

Un graphe orienté signifie que la matrice d’adjacence n’est pas symétrique.

On représente la matrice d’adjacence souvent sous forme de dictionnaire car cette matrice est souvent creuse : beaucoup de coefficients sont nuls car le nombre d’arcs comparé au nombre total d’arcs (n^2 pour un graphe de n noeuds) est très petit.

Cyclique, acyclique

C’est une distinction importante. Un graphe cyclique implique qu’on puisse partir d’un noeud et y revenir. Dans un graphe acyclique, tout chemin a un début et une fin. Le graphe suivant est tiré de wikipédia et il ne comporte pas de cycle. Un graphique ayclique est nécessairement orienté. Le plus long chemin n’a pas de sens dans un graphe cyclique.

Trois problèmes classiques de graphes

Ils concernent les graphiques cycliques et acycliques.

  • Recherche des composantes connexes. Un graphe a deux composantes connexes s’il n’est pas possible de relier pas un chemin deux points quelconques du graphes.
  • Plus court chemin dans un graphe, c’est problème qu’on retrouve très souvent même parfois où on ne l’attend pas. L”algorithme de Viterbi équivaut à la recherche du plus court chemin dans un graphe où les arcs sont des logarithmes de probabilités.
  • Le voyageur de commerce pour lequel il faut trouver le plus court chemin passant par tous les noeuds d’un graphe.

Ces trois problèmes concernent les graphes orientés et non orientés, acyclique ou non (excepté pour le dernier). Pour les graphes orientés et acyclique, on en revient le plus souvent à les parcourir.

Parcours de graphes

Ces deux algorithmes peuvent être utilisé pour colorier un graphe. Un graphe symbolise un ensemble de relations entre des objets ou des personnes comme dans la plupart des séries policières qui vous rappellent l’intrigue en l’écrivant sur un tableau transparent.